Exercice 1 :
1/ Les fonctions de réaction des deux firmes sont:
La firme 1 est leader de Stackelberg
La fonction de profit est donnée par:
Nous remplaçons dans cette fonction q2 par l’expression de la fonction de réaction car la firme 1 admet cette information.
Ceci nous donne après simplification:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On obtient alors la quantité produite par la firme 1 en situation de leader de Stackelberg:
Pour la firme 2 (follower de Stackelberg)
Il suffit de remplacer dans l’expression de sa fonction de réaction la quantité du leader de Stackelberg. Ceci nous donne:
Ainsi on peut déduire le prix pratiqué sur ce marché et les niveaux de profits des firmes:
2/ La firme 2 est leader de Stackelberg
La fonction de profit de la firme 2 est donnée par:
Un raisonnement identique à celui conduit dans la première partie de l’exercice, amène à remplacer la quantité produite par la firme 1 (anticipée par la firme 2) par sa fonction de réaction. Ceci est possible à cause de l’avantage informationnel.
Ou encore
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
Les quantités d’équilibres sont données par données par:
et le prix d’équilibre est égal à:
3/ La situation de déséquilibre de Stackelberg
En situation de déséquilibre de Stackelberg, les deux firmes mettent en place les quantités de production (comme si elles se comportaient en leader):
et le prix d’équilibre est par conséquent relativement bas:
Les niveaux de profits réalisés sont les plus bas. Toutes les autres situations sont préférables à celle-ci.
Exercice 2 :
Il convient de déterminer en premier lieu les fonctions de réaction des firmes 1 et 2.
La fonction de profit de la firme 1 est donnée par:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On peut alors déterminer la fonction de réaction de la firme 1:
La fonction de profit de la firme 2 est donnée par:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On peut alors déterminer la fonction de réaction de la firme 2:
1/ Équilibre de Stackelberg avec la firme 1 leader
Puisque la firme 1 est en situation de leader elle remplacera dans la fonction de profit la quantité anticipée produite par la firme rivale par sa fonction de réaction. Ceci nous donne:
d’où
Le follower de Stackelberg continue d’agir avec la fonction de réaction. Il tiendra compte de la quantité produite par le leader et détermine sa propre quantité produite.
Ainsi, on peut déterminer le prix pratiqué par les deux firmes:
2/ Équilibre de Stackelberg avec la firme 2 leader
De manière identique, la firme 2 remplacera dans la fonction de profit la quantité anticipée produite par la firme rivale par sa fonction de réaction. Ceci nous donne:
d’où
Le follower de Stackelberg continue d’agir avec la fonction de réaction. Il tiendra compte de la quantité produite par le leader et détermine sa propre quantité produite.
Ainsi, on peut déterminer le prix pratiqué par les deux firmes:
3/ Pour la firme 1, une courbe d’iso-profit contient toutes les paires d’output (q1,q2) donnant à la firme 1 le même niveau de profit
. De même, pour la firme 2, une courbe d’iso-profit contient toutes les paires d’output (q1,q2) donnant à la firme 1 le même niveau de profit
- La courbe de réaction de R1 passe à travers les max des courbes d’iso-profits de la firme 1.
- La courbe de réaction de R2 passe à travers les max des courbes d’iso-profits de la firme 2.
Exercice 3 :
1/ L’équilibre de Cournot
Déterminons les fonctions de réaction des firmes 1 et 2.
La fonction de profit de la firme 1 est donnée par:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On peut alors déterminer la fonction de réaction de la firme 1:
La fonction de profit de la firme 2 est donnée par:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On peut alors déterminer la fonction de réaction de la firme 2:
Les quantités d’équilibre sont données par :
Le prix de l’équilibre de Cournot est donné par:
Les profits s’élèvent à:
2/ Les quantités de Monopole pour les firmes 1 et 2
La quantité de monopole exprime l’idée de l’anticipation d’une firme que sa rivale met en place une quantité produite égale à 0. Ceci est donné par les intersections avec les axes des courbes de réaction.
Ainsi pour la firme 1, la quantité de Monopole est égale à :
Il en est de même pour la firme 2:
3/ Équilibre de Stackelberg Firme 1 leader
Puisque la firme 1 est en situation de leader elle remplacera dans la fonction de profit la quantité anticipée produite par la firme rivale par sa fonction de réaction. Ceci nous donne:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
Ainsi
La firme 2 (en situation de follower) continuera d’anticiper avec la fonction de réaction habituelle. Elle déterminera ainsi sa quantité produite:
Nous pouvons alors déduire le prix d’équilibre:
Exercice 4 :
1/ Équilibre de Stackelberg avec la firme 1 leader
Nous tenons d’abord à rappeler que les fonctions de réaction des firmes 1 et 2 sont données par:
Puisque la firme 1 est leader de Stackelberg, alors la firme 1 introduit l’information relative à sa fonction de réaction dans la fonction de profit. Ceci nous donne:
Ainsi
La firme 2 introduit ce prix dans sa propre fonction de réaction et facturera le prix suivant:
D’où
2/ Entre l’équilibre de Bertrand et l’équilibre de Stackelberg, la firme 2 choisira la seconde situation. En effet, les prix facturés sont plus importants et les profits également. En augmentant son prix, la firme 2 permet à la firme 1 d’augmenter également son prix compte tenu de la relation entre les deux variables stratégiques qui sont complémentaires:
Le graphique ci-dessus permet de monter à bien cette relation.
Exercice 1 :
1/ Les fonctions de réaction des deux firmes sont:
La firme 1 est leader de Stackelberg
La fonction de profit est donnée par:
Nous remplaçons dans cette fonction q2 par l’expression de la fonction de réaction car la firme 1 admet cette information.
Ceci nous donne après simplification:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On obtient alors la quantité produite par la firme 1 en situation de leader de Stackelberg: 
Pour la firme 2 (follower de Stackelberg)
Il suffit de remplacer dans l’expression de sa fonction de réaction la quantité du leader de Stackelberg. Ceci nous donne:
Ainsi on peut déduire le prix pratiqué sur ce marché et les niveaux de profits des firmes:
2/ La firme 2 est leader de Stackelberg
La fonction de profit de la firme 2 est donnée par:
Un raisonnement identique à celui conduit dans la première partie de l’exercice, amène à remplacer la quantité produite par la firme 1 (anticipée par la firme 2) par sa fonction de réaction. Ceci est possible à cause de l’avantage informationnel.
Ou encore
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
Les quantités d’équilibres sont données par données par: et le prix d’équilibre est égal à: 
3/ La situation de déséquilibre de Stackelberg
En situation de déséquilibre de Stackelberg, les deux firmes mettent en place les quantités de production (comme si elles se comportaient en leader): et le prix d’équilibre est par conséquent relativement bas: 
Les niveaux de profits réalisés sont les plus bas. Toutes les autres situations sont préférables à celle-ci.
Exercice 2 :
Il convient de déterminer en premier lieu les fonctions de réaction des firmes 1 et 2.
La fonction de profit de la firme 1 est donnée par:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On peut alors déterminer la fonction de réaction de la firme 1:
La fonction de profit de la firme 2 est donnée par:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On peut alors déterminer la fonction de réaction de la firme 2:
1/ Équilibre de Stackelberg avec la firme 1 leader
Puisque la firme 1 est en situation de leader elle remplacera dans la fonction de profit la quantité anticipée produite par la firme rivale par sa fonction de réaction. Ceci nous donne:
d’où 
Le follower de Stackelberg continue d’agir avec la fonction de réaction. Il tiendra compte de la quantité produite par le leader et détermine sa propre quantité produite.
Ainsi, on peut déterminer le prix pratiqué par les deux firmes: 
2/ Équilibre de Stackelberg avec la firme 2 leader
De manière identique, la firme 2 remplacera dans la fonction de profit la quantité anticipée produite par la firme rivale par sa fonction de réaction. Ceci nous donne:
d’où 
Le follower de Stackelberg continue d’agir avec la fonction de réaction. Il tiendra compte de la quantité produite par le leader et détermine sa propre quantité produite.
Ainsi, on peut déterminer le prix pratiqué par les deux firmes: 
3/ Pour la firme 1, une courbe d’iso-profit contient toutes les paires d’output (q1,q2) donnant à la firme 1 le même niveau de profit . De même, pour la firme 2, une courbe d’iso-profit contient toutes les paires d’output (q1,q2) donnant à la firme 1 le même niveau de profit 
- La courbe de réaction de R1 passe à travers les max des courbes d’iso-profits de la firme 1.
- La courbe de réaction de R2 passe à travers les max des courbes d’iso-profits de la firme 2.
Exercice 3 :
1/ L’équilibre de Cournot
Déterminons les fonctions de réaction des firmes 1 et 2.
La fonction de profit de la firme 1 est donnée par:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On peut alors déterminer la fonction de réaction de la firme 1:
La fonction de profit de la firme 2 est donnée par:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
On peut alors déterminer la fonction de réaction de la firme 2:
Les quantités d’équilibre sont données par :
Le prix de l’équilibre de Cournot est donné par:
Les profits s’élèvent à: 
2/ Les quantités de Monopole pour les firmes 1 et 2
La quantité de monopole exprime l’idée de l’anticipation d’une firme que sa rivale met en place une quantité produite égale à 0. Ceci est donné par les intersections avec les axes des courbes de réaction.
Ainsi pour la firme 1, la quantité de Monopole est égale à :
Il en est de même pour la firme 2:
3/ Équilibre de Stackelberg Firme 1 leader
Puisque la firme 1 est en situation de leader elle remplacera dans la fonction de profit la quantité anticipée produite par la firme rivale par sa fonction de réaction. Ceci nous donne:
L’annulation de la dérivée première nous conduit à:
Ainsi 
La firme 2 (en situation de follower) continuera d’anticiper avec la fonction de réaction habituelle. Elle déterminera ainsi sa quantité produite:
Nous pouvons alors déduire le prix d’équilibre:
Exercice 4 :
1/ Équilibre de Stackelberg avec la firme 1 leader
Nous tenons d’abord à rappeler que les fonctions de réaction des firmes 1 et 2 sont données par:
Puisque la firme 1 est leader de Stackelberg, alors la firme 1 introduit l’information relative à sa fonction de réaction dans la fonction de profit. Ceci nous donne:
Ainsi 
La firme 2 introduit ce prix dans sa propre fonction de réaction et facturera le prix suivant:
D’où 
2/ Entre l’équilibre de Bertrand et l’équilibre de Stackelberg, la firme 2 choisira la seconde situation. En effet, les prix facturés sont plus importants et les profits également. En augmentant son prix, la firme 2 permet à la firme 1 d’augmenter également son prix compte tenu de la relation entre les deux variables stratégiques qui sont complémentaires: 
Le graphique ci-dessus permet de monter à bien cette relation.
