Corrigé – Fiche de TD n°7 – Concurrence et coopération : la solution de cartel

Exercice 1 :

1/ La fonction de profit qui maximise les profits joints est donnée par :

Les conditions de premier ordre qui maximisent les profits sont obtenues en dérivant l’expression précédente par rapport à q₁ et q₂, soit :

Soit :

Le système peut être réduit de manière à obtenir :

La solution obtenue suppose que

Le prix d’équilibre est obtenu en remplaçant q₁ et q₂ dans la fonction de demande inverse de sorte que : P* = 93,75

2/ La solution de cartel est instable. Pour le prouver il suffit de comparer la fonction de profit marginal en situation de maximisation de profit à la Cournot et en situation de cartel.

Si la firme 1 maximise sa fonction de profit en situation de concurrence à la Cournot elle adoptera le comportement suivant :

Soit :

, expression que l’on peut réécrire telle que :

En situation de cartel la firme doit respecter la condition suivante calculée à la première question :

D’après (1), soit encore or dans la situation de Cournot de sorte que la firme 1 a intérêt à ne pas respecter son accord puisque ses profits marginaux sont positifs en situation d’entente.

Exercice 2 :

1/ À l’équilibre de Cournot, chaque entreprise détermine sa production en considérant la production de son concurrent comme une donnée. L’entreprise 1 détermine donc q₁, pour une valeur donnée q₂, en maximisant son profit :

Le choix optimal de la l’entreprise 1 vérifie donc :

Ce qui donne :

soit (R₁) la fonction de réaction de l’entreprise 1. De même, l’entreprise 2 détermine q₂ en maximisant son profit, pour une production q₁ considérée comme une donnée. On a :

Le choix optimal de la l’entreprise 2 vérifie donc :

Ceci donne la fonction de réaction de l’entreprise 2 :

À l’équilibre de Cournot, la production de chaque entreprise constitue la « meilleure réponse » à la décision de son concurrent : les productions q ₁ et q₂ doivent donc vérifier les équations (R₁) et (R₂). Ceci donne :

Ceci est illustré sur la figure ci-dessous. Dans cet exercice, les fonctions de réaction sont représentées par des droites décroissantes : si une firme hausse le volume de sa production, ceci fait baisser le prix sur le marché et conduit son concurrent à choisir un niveau de production plus faible. L’équilibre de Cournot est au point C.

À l’équilibre de Cournot, le prix sur le marché est égal à 2 et les profits sont donnés par :

2/ L’entreprise 2 est en position de firme dominante : elle choisit donc sa production q₂ en prévoyant que son concurrent va ensuite choisir q₁ comme l’indique sa fonction de réaction, c’est-à-dire . Compte tenu de la réaction prévue de son concurrent, le profit de l’entreprise 2 exprimé en fonction de q₂ seulement peut s’écrire :

Ce profit est maximum lorsque :

ce qui définit la production optimale de l’entreprise 2 :

La production de l’entreprise 1 s’obtient à l’aide de sa fonction de réaction, ce qui donne :

Ces niveaux de production définissent l’équilibre de Stackelberg du marché. Par comparaison avec l’équilibre de Cournot, l’entreprise 2 qui en fonction de firme dominante a augmenté sa production tandis que l’entreprise 1 a, au contraire, réduit son niveau d’activité. Le prix est maintenant égal à et les profits atteints sont :

L’entreprise 2 a gagné à avoir cette position de leader de Stackelberg puisque sont profit a augmenté par rapport à l’équilibre de Cournot où les deux entreprises entaient en position symétrique. La situation est inverse pour l’entreprise 1 dont le profit est plus faible à l’équilibre de Stackelberg qu’à l’équilibre de Cournot.

3/ Lorsque les deux entreprises forment un cartel, elles choisissent leurs niveaux de production respectifs de manière à maximiser leur profit joint, quitte à le redistribuer ensuite par des transferts bilatéraux. Les productions q₁ et q₂ sont donc choisit de manière à maximiser le profit total qui s’écrit :

Les productions optimales vérifient donc :

Ce qui implique :

Dans le cas de cartel, le prix est égal à ce qui est supérieur au prix attient aussi bien à l’équilibre de Cournot qu’à l’équilibre de Stackelberg.

Si aucun transfert n’est mis en place entre les entreprises, celles-ci réalisent des profits . Il est intéressant de comparer cette situation avec l’équilibre de Cournot : si le prix est plus élevé à l’équilibre de Cartel qu’il n’était à l’équilibre de Cournot, c’est que les entreprises ont globalement réduit leur production totale, celle-ci passe de 2 à . Toutefois, tout le poids de l’ajustement repose sur l’entreprise 1 qui a diminué de moitié son volume de production, tandis que la production de l’entreprise 2 n’a pas changé (elle est égale à 1 à l’équilibre de Cournot comme à l’équilibre de Cartel). En conséquence, si la somme des profits est plus élevée à l’équilibre de Cartel qu’à l’équilibre de Cournot ( contre ), le profit de la firme 1 a diminué (il est passé de 1 à ).

Si les entreprises se mettent d’accord sur une répartition égale du profit total, chacune d’entre elle obtient un profit égal à : l’entreprise 2 doit donc verser un transfert égal à à l’entreprise 1.

Exercice 3 :

1/ Lorsque les deux entreprises forment un cartel, elles choisissent leurs niveaux de production respectifs de manière à maximiser leur profit joint, quitte à le redistribuer ensuite par des transferts bilatéraux. Les productions q₁ et q₂ sont donc choisit de manière à maximiser le profit total qui s’écrit :

Les productions optimales vérifient donc :

Ce qui implique :

D’où le prix est donnée par :

Les profits sont donnés par :

2/ La solution de cartel est instable. Pour le prouver il suffit de comparer la fonction de profit marginal en situation de maximisation de profit à la Cournot et en situation de cartel.

A l’équilibre de Cournot, la fonction de profit de la firme 1 est donnée par :

L’annulation de la dérivée première nous conduit à :

En situation de cartel la firme doit respecter la condition suivante calculée précédemment :

D’après (2), soit encore or dans la situation de Cournot de sorte que la firme 1 a intérêt à ne pas respecter son accord puisque ses profits marginaux sont positifs en situation d’entente.